Barisan dan Deret Aritmatika Kelas 11 SMA

 

Konsep Barisan dan Deret

Barisan dan deret dalam matematika memiliki manfaat yang banyak dalam kehidupan sehari-hari. Ketika kamu ingin menjadi seorang pengusaha misalnya, perkembangan usaha yang konstan dari waktu ke waktu mengikuti baris hitung. Kamu jadi bisa memprediksikan skala keuntungan atau kerugian yang akan kamu hadapi.

Secara umum, barisan adalah sebuah daftar bilangan yang mengurut dari kiri ke kanan. Setiap urutan bilangannya juga memiliki karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan yang ada pada barisan merupakan suku dalam barisan itu sendiri.

Sementara itu, deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Misalnya, terdapat barisan U1, U2, U3, U4, ….. Un, maka deret itu adalah U1 + U2 + U3 + U4 +….. Un. U artinya suku ya. Kalau Un berarti suku ke-n.

Pengertian Barisan dan Deret Aritmetika

barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama di antara suku-sukunya yang saling berdekatan. Selisih ini bisa kita sebut dengan beda, simbolnya b, ya. Kalau deret aritmetika adalah jumlah suku ke-n pertama pada barisan aritmatika.

Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 1. Suku pertama barisan aritmetika disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 4. Suku ketiga (U3), yaitu 7, suku keempat (U4), yaitu 10, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda, yaitu 3 pada setiap sukunya.

Rumus Barisan dan Deret Aritmetika beserta Contoh

Sekarang, kita pahami rumusnya. Rumus barisan aritmetika bisa kamu gunakan untuk mencari suku ke-n (Un). Sementara itu, rumus deret aritmetika berguna untuk mencari penjumlahan dari suku-suku tersebut.

Oke, supaya kamu lebih mudah memahami rumusnya, kita langsung masuk ke contoh soal saja. Misalnya terdapat barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Maka,

Suku pertama = U1 = a = 1

Suku kedua = U2 = 3

Suku kedua = U3 = 5 … dst sampai suku ke-n = Un

Beda atau selisih suku pertama dengan suku kedua, suku kedua dengan suku ketiga, dan seterusnya:

b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2

b = U3 – U2 = 5 – 3 = 2

b = U4 – U3 = 7 – 5 = 2 … dst

Jadi, b = 2.

Kita diminta mencari suku ke-n (Un) dari barisan bilangan tadi. Kalau semisal yang ditanya adalah suku ke-7 (U7), caranya gampang, kamu tinggal tambahkan saja suku ke-6 (U6) dengan nilai beda nya.

b = U7 – U6

U7 = U6 + b

U7 = 11 + 2 = 13

Rumus Mencari Suku ke-n (Un) dan Beda (b)

Bentuk Umum Barisan Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:

 = suku ke-n

 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Sekarang, coba kita cari suku ke-20 menggunakan rumus di atas, ya!

Un = a + (n – 1)b

U20 = 1 + (20 – 1)2

U20 = 1 + (19.2)

U20 = 1 + 38 = 39

Jadi, suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah 39.

Rumus Mencari Suku Tengah (Ut)

Oh, iya, pada barisan aritmetika, kita bisa mencari suku tengahnya juga, loh! Wah, apa tuh maksudnya? Sesuai namanya, suku tengah adalah suku yang posisi/letaknya tepat berada di tengah-tengan barisan aritmetika. Tapi, ada syaratnya, nih. Suku tengah ini hanya bisa dicari jika banyak suku-sukunya ganjil. Rumus suku tengah barisan aritmetika adalah sebagai berikut:

      atau     

Jika jumlah atau banyak suku dari suatu barisan aritmetika adalah ganjil, maka rumus untuk mencari suku tengahnya adalah sebagai berikut:

Keterangan:

 = suku tengah
 = suku terakhir
a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku

Contoh:

Terdapat barisan aritmetika 3, 6, 9, 12, …, 81

1. Tentukan nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut!
2. Tentukan suku ke berapakah yang menjadi suku tengah dari barisan aritmetika tersebut!

 

Penyelesaian:

Diketahui:

a = 3

b = U2 – U1 = 6 – 3 = 3

Un = 81  

Ditanya: Ut dan t …?

Jawab:

a. Ut

Jadi, nilai suku tengah pada barisan aritmetika di atas adalah 42.

b. t

Rumus Sisipan

Nah, gimana jadinya kalau kamu menyisipkan bilangan dengan jumlah k ke dalam barisan aritmetika yang udah ada? Pastinya hal tersebut akan menyebabkan terbentuknya barisan aritmetika yang baru dan beberapa rumus di bawah ini juga ikut berubah, nih.

atau

Keterangan:

 = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika baru
n = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika lama
k = jumlah atau banyaknya bilangan yang disisipkan ke barisan aritmetika lama
 = beda atau selisih barisan aritmetika baru
b = beda atau selisih barisan aritmetika lama

Rumus-Rumus Deret Aritmetika

Bentuk Umum Deret Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:
 = suku ke-n
 = suku ke-n
 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Biar kamu makin ngerti, coba cermati beberapa contoh soal cerita barisan aritmatika dalam kehidupan sehari hari dan deret aritmetika di bawah ini, ya!

Contoh Soal 1

Terdapat sebuah barisan bilangan seperti berikut 3, 5, 7, 9, …
Berapakah suku ke-30 dari barisan tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
a = 3
b = 
= 5-3
= 2
Ditanyakan: U30?
Jawab:

      = 3 + (30-1)2
      = 3 + (29)2
      = 3 + 58
      = 61

Jadi, suku ke-30 dari barisan aritmetika tersebut adalah 61.

Contoh Soal 2

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut: 2, 6, 10, 14, …, 74. Berapa nilai suku tengahnya? Terletak pada suku ke berapa nilai tengah tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
1. a = 2
2. b = 
       = 6-2
       = 4
   = 74

Ditanyakan:

a). ?

b). t suku tengah?

Jawab:
a). ?

     = 1/2(2+74)
     = 1/2(76)
     = 38

Jadi, nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut adalah adalah 38.

b). t suku tengah?

74 = 2 + (n-1)4
74 = 2 + 4n-4
74 = 4n – 2
74 +2 = 4n
     76 = 4n
  76/4 = n
     19 = n

Jadi, jumlah atau banyaknya suku ada 18.

t = 1/2(n +1)
t = 1/2(19 +1)
t = 1/2(20)
t = 10.

Maka, suku tengah pada barisan aritmetika tersebut terletak pada suku ke-10.

Contoh Soal 3

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut 20 + 18 + 16, …
Tentukan berapa jumlah 12 suku pertamanya!

Diketahui:
a = 20
b = 2
Ditanyakan: Sn?
Jawab:

 =  (20 + 20 + (12-1)2))
      = 6 (40 + 24 – 2)
      = 6 (62)
      = 372.

Jadi, jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah 372.

Contoh Penerapan Barisan dan Deret di Kehidupan Sehari-hari

    Seperti yang sudah dijelaskan di awal tadi, belajar barisan dan deret juga ada manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya untuk menghitung pertumbuhan penduduk, bunga majemuk, anuitas, dan masih banyak lagi. Hal penting yang perlu kamu ingat, semua ilmu itu pasti ada manfaatnya. Jadi, nggak ada alasan buat kamu untuk malas belajar materi ini, ya!